Allgemeines
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Kursthemen
01) Ableitungen - Ketten- und Produktregel
Für Funktionen der Form f(x)=v(x)·w(x) gilt f'(x)=v'(x)·w(x)+v(x)·w'(x).
Beispiel:
\(f(x)=sin(x)\cdot x^2\)
\(v(x)=sin(x)\) \(v'(x)=cos(x)\)
\(w(x)=x^2\) \( w'(x)=2x\)
\(f'(x)=v'(x)\cdot w(x)+v(x)\cdot w'(x)=cos(x)\cdot x^2+sin(x)\cdot2x\)Für Funktionen der Form f(x)=v(w(x)) gilt f'(x)=v'(w(x))·v'(x).
Beispiel:
\(f(x)=sin(x^2)\)
\(v(x)=sin(x)\) \(v'(x)=cos(x)\)
\(w(x)=x^2\) \( w'(x)=2x\)
\(f'(x)=v'(w(x))\cdot v'(x)=cos(x^2)\cdot2x\)
02) e-Funktion
Exponentielle Funktionen ergeben abgeleitet wieder exponentielle Funktionen.
Dies ist eine Besonderheit im Gegensatz zu den meisten anderen Funktionen.
\(f(x)=b^x\)
\(f'(x)=c\cdot b^x\) mit einer Konstanten c.
Durch geschickte Wahl von b ist es möglich c=1 zu erhalten.
Dann gilt f(x)=f'(x).
Hierzu muss b die sogenannte eulersche Zahl e sein.
e ist wie π eine transzendente Zahl, sie kann z.B. nicht vollständig als Bruch oder als Kommazahl dargestellt werden.
e≈2,71828182846≈2,72
03) natürlicher Logarithmus
Die Gleichung \(b^x=c\) kann nach x aufgelöst werden.
Hierzu ist der Logarithmus notwendig.
Es ergibt sich \(log_b(c)=x\). Gesprochen der Logarithmus zur Basis b von c.
Der Logarithmus von e heißt Logarithmus naturalis oder ln.
\(log_e(c)=ln(c)\)
04) exponentielles Wachstum (Wiederholung)
Exponentielles Wachstum lässt sich durch die Funktion
\(f(x)=A\cdot b^x\) oder \(f(x)=A\cdot 0,5^{x/T_{\frac{1}{2}}}\) auch dargestellt werden.
A ist hierbei der Anfangsbestand, b der Wachstumsfaktor, k die Wachstumskonstante, \(T_{\frac{1}{2}}\) die Halbwertszeit.
Es gilt \(b=2^{-1/t}=1/\sqrt[t]{2}\).
05) exponentielles Wachstum (A*e^kx)
Neben der Darstellung \(f(x)=A\cdot b^x\) wird oft die Darstellungsform \(f(x)=A\cdot e^{k\cdot x}\) verwendet.
Diese Darstellungsform hat den Vorteil, dass sie sich leicht ableiten lässt.
Es gilt \(k=ln(b)\).
06-eA) begrenztes Wachstum
Die meisten Beispiele von Wachstum haben irgendwo ein Ende.
Die Funktion \(f(x)=(A-G)\cdot e^{-k\cdot x} +G\) ist eine Möglichkeit dies mathematisch abzubilden.
A ist hier wieder der Startwert, G der Grenzwert, also der maximale Wert dem sich die Funktion nährt.
Ein Beispiel hierfür ist das Glas Saft, dass aus dem Kühlschrank kommt. Es wird anfangs schnell wärmer, aber nie wärmer als die Umgebung.