Für Funktionen der Form f(x)=v(x)·w(x) gilt f'(x)=v'(x)·w(x)+v(x)·w'(x).
Beispiel:
\(f(x)=sin(x)\cdot x^2\)
\(v(x)=sin(x)\) \(v'(x)=cos(x)\)
\(w(x)=x^2\) \( w'(x)=2x\)
\(f'(x)=v'(x)\cdot w(x)+v(x)\cdot w'(x)=cos(x)\cdot x^2+sin(x)\cdot2x\)
Für Funktionen der Form f(x)=v(w(x)) gilt f'(x)=v'(w(x))·v'(x).
Beispiel:
\(f(x)=sin(x^2)\)
\(v(x)=sin(x)\) \(v'(x)=cos(x)\)
\(w(x)=x^2\) \( w'(x)=2x\)
\(f'(x)=v'(w(x))\cdot v'(x)=cos(x^2)\cdot2x\)
Exponentiell Funktionen ergeben abgeleitet wieder Exponentiell Funktionen.
Dies ist eine Besonderheit im Gegensatz zu den meisten anderen Funktionen.
\(f(x)=b^x\)
\(f'(x)=c\cdot b^x\) mit einer Konstanten c.
Durch geschickte Wahl von b ist es möglich c=1 zu erhalten.
Dann gilt f(x)=f'(x).
Hierzu muss b die sogenannte eulersche Zahl e sein.
e ist wie π transzendenten Zahl sie kann z.B. nicht vollständig als Bruch oder als Kommazahl dargestellt werden.
e≈2,71828182846≈2,72
Die Gleichung \(b^x=c\) kann nach x aufgelöst werden.
Hierzu ist der Logarithmus notwendig.
Es ergibt sich \(log_b(c)=x\). Gesprochen der Logarithmus zur Basis b von c.
Der Logarithmus von e heißt Logarithmusnaturales oder ln.
\(log_e(c)=ln(c)\)
Exponentielles Wachstum lässt sich durch die Funktion
\(f(x)=A\cdot b^x\) oder \(f(x)=A\cdot 0,5^{x/T_{\frac{1}{2}}}\) auch dargestellt werden.
A ist hierbei der Anfangsbestand, b der Wachstumsfaktor, k die Wachstumskonstante, \(T_{\frac{1}{2}}\) die Halbwertszeit.
Es gilt \(b=2^{-1/t}=1/\sqrt[t]{2}\).
Neben der Darstellung \(f(x)=A\cdot b^x\) wird oft die Darstellungsform \(f(x)=A\cdot e^{k\cdot x}\) verwendet.
Diese Darstellungsform hat den Vorteil, dass sie sich leicht ableiten lässt.
Es gilt \(k=ln(b)\).
Die meisten Beispiele von Wachstum haben irgendwo ein Ende.
Die Funktion \(f(x)=(A-G)\cdot e^{-k\cdot x} +G\) ist eine Möglichkeit dies mathematisch abzubilden.
A ist hier wieder der Startwert, G der Grenzwert, also der maximale Wert dem sich die Funktion nährt.
Ein Beispiel hierfür ist das Glas Saft, dass aus dem Kühlschrank kommt. Es wird anfangs schnell wärmer, aber nie wärmer als die Umgebung.