Allgemeines
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Im zweidimensionalen Koordinatensystem werden Punkte in der Form (x|y) angegeben.
In drei Dimensionen kommt eine Koordinate hinzu.
Hier kann die Angabe ergänzt werden, sodass sich der Punkt A=(x|y|z) ergibt.
Alternativ kann der Vektor angegeben, der vom Ursprung aus gesehen auf den Punkt A zeigt:
\(\vec{0\mathrm{A}}=\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right)\)
Der Abstand zweier Punkte ergibt sich über den Satz des Pythagoras als:
\(Abstand=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}\)
Die Länge eines Vektors \(\vec{a}=\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right)\) wird auch als Betrag des Vektors bezeichnet.
Sie ergibt sich als \(L=|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\).
Ein Vektor kann mit einem Skalar (eine gewöhnliche Zahl) multipliziert werden.
Hierzu ist jede Zeile mit dem Skalar zu multiplizieren.
Beispiel: \(a\cdot\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} a\cdot x \\ a\cdot y \\ a\cdot z \end{array}\right)\)
Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) sind genau dann linear abhängig voneinander, wenn es einen Faktor \(|f|\neq 0\) gibt mit dem gilt:
\(f\cdot\vec{a}=f\cdot\left(\begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} f\cdot x_1 \\ f\cdot y_1 \\ f\cdot z_1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{array}\right)=\vec{b}\)
Beide Vektoren zeigen genau dann in die gleiche Richtung, wenn f positiv ist. Sie zeigen genau dann in entgegengesetzte Richtungen, wenn f negativ ist.
Wenn \(|f|\neq 1\) ist, haben die Vektoren unterschiedliche Längen. Wenn zusätzlich \(|f|\neq 1\) ist, sind sie linear abhängig voneinander. Die Vektoren haben dann unterschiedliche Längen.
Die Vektoren heißen linear unabhängig, wenn es kein solches f gibt.
Für das Skalarprodukt gilt:
\(\vec{a}\cdot \vec{b} =\left(\begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{array}\right)=x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2+ z_1\cdot z_2\)
Zwei Geraden können sich in 2D
In 3D gibt es dieselben Möglichkeiten auch. Zusätzlich können Geraden auch:
Geraden können in 3D durch einen Stützvektor \(\vec{s}\) und einen Richtungsvektor \(\vec{r}\) dargestellt werden.
Der Stützvektor muss vom Ursprung auf einen beliebigen Punkt der Geraden zeigen.
Der Richtungsvektor zeigt entlang der Geraden.
Es ergibt sich:
\(g:\vec{x}=\vec{s}+t\cdot\vec{r}\)
Um den Schnittpunkt zweier Geraden feststellen zu können, werden beide Geraden gleichgesetzt.
Hierbei
ergibt sich ein Gleichungssystem mit zwei Variablen. Die berechneten Variablen können dann in die jeweilige Gerade eingesetzt werden und es ergibt sich der Schnittpunkt.
Um die vier möglichen Fälle in 3D zu unterscheiden, ist dieses Vorgehen möglich:
Ebenen können in 3D durch einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren dargestellt werden.
Der Stützvektor muss vom Ursprung auf einen beliebigen Punkt der Ebene zeigen.
Die Richtungsvektoren zeigen entlang der Ebene. Sie müssen in unterschiedliche Richtungen zeigen, also linear unabhängig sein.
Es ergibt sich:
\(e:\vec{x}=\vec{s}+t\cdot\vec{r_1}+u\cdot\vec{r_2}\)
Um den Schnittpunkt von einer Geraden mit einer Ebene festzustellen, können beide gleichgesetzt werden.
Hierbei ergeben sich die drei Variablen für den Schnittpunkt.
Diese können dann in die Gerade- oder Ebenengleichung eingesetzt werden und es ergibt sich der Schnittpunkt.
Eine Ebene und eine Gerade können in 3D verschieden Lagebeziehungen haben:
Um die drei möglichen Fälle zu unterscheiden, ist dieses Vorgehen möglich:
Die Ebene wird mit der Geraden gleichgesetzt:
Zwei Ebenen können in 3D verschieden Lagebeziehungen haben:
Um die drei möglichen Fälle zu unterscheiden, ist dieses Vorgehen möglich:
Die beiden Ebenen werden gleichgesetzt: