Allgemeines
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Kursthemen
01) Punkte im Raum
Im zweidimensionalen Koordinatensystem werden Punkte in der Form (x|y) angegeben.
In drei Dimensionen kommt eine Koordinate hinzu.
Hier kann die Angabe ergänzt werden, sodass sich der Punkt A=(x|y|z) ergibt.
Alternativ kann der Vektor angegeben, der vom Ursprung aus gesehen auf den Punkt A zeigt:
\(\vec{0\mathrm{A}}=\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right)\)
Der Abstand zweier Punkte ergibt sich über den Satz des Pythagoras als:
\(Abstand=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}\)
02) Vektoren
- Der Vektor von A nach B errechnet sich als:
\(\vec{0\mathrm{A}}=\left(\begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{array}\right)\)
\(\vec{0\mathrm{B}}=\left(\begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{array}\right)\)\(\vec{\mathrm{AB}}=\vec{0\mathrm{B}}-\vec{\mathrm{0}A}=\left(\begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \\ z_2-z_1 \end{array}\right)\) Die Länge eines Vektors \(\vec{a}=\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right)\) wird auch als Betrag des Vektors bezeichnet.
Sie ergibt sich als \(L=|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\).
03) lineare Vielfache
Ein Vektor kann mit einem Skalar (eine gewöhnliche Zahl) multipliziert werden.
Hierzu ist jede Zeile mit dem Skalar zu multiplizieren.
Beispiel: \(a\cdot\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} a\cdot x \\ a\cdot y \\ a\cdot z \end{array}\right)\)
Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) sind genau dann linear abhängig voneinander, wenn es einen Faktor \(|f|\neq 0\) gibt mit dem gilt:
\(f\cdot\vec{a}=f\cdot\left(\begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} f\cdot x_1 \\ f\cdot y_1 \\ f\cdot z_1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{array}\right)=\vec{b}\)
Beide Vektoren zeigen genau dann in die gleiche Richtung, wenn f positiv ist. Sie zeigen genau dann in entgegengesetzte Richtungen, wenn f negativ ist.
Wenn \(|f|\neq 1\) ist, haben die Vektoren unterschiedliche Längen. Wenn zusätzlich \(|f|\neq 1\) ist, sind sie linear abhängig voneinander. Die Vektoren haben dann unterschiedliche Längen.
Die Vektoren heißen linear unabhängig, wenn es kein solches f gibt.
04) Skalarprodukt und Winkel
Für das Skalarprodukt gilt:
\(\vec{a}\cdot \vec{b} =\left(\begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{array}\right)=x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2+ z_1\cdot z_2\)
- Der Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmt sich als:
\(\alpha=\arccos(\frac{\vec r_1 \cdot \vec r_2}{|\vec r_1|\cdot|\vec r_1|})=\arccos(\frac{ x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2+z_1\cdot z_2 }{\sqrt{ x_1^2+y_1^2+z_1^2}\cdot \sqrt{ x_2^2+y_2^2+z_2^2}})\)
05) Geraden in 2D
Zwei Geraden können sich in 2D
- in einem Punkt schneiden
- nicht schneiden und damit parallel sein
- überall schneiden und damit identisch sein
In 3D gibt es dieselben Möglichkeiten auch. Zusätzlich können Geraden auch:
- windschief sein, sie schneiden sich dann nicht und sind nicht parallel
06) Geraden in 3D
Geraden können in 3D durch einen Stützvektor \(\vec{s}\) und einen Richtungsvektor \(\vec{r}\) dargestellt werden.
Der Stützvektor muss vom Ursprung auf einen beliebigen Punkt der Geraden zeigen.
Der Richtungsvektor zeigt entlang der Geraden.Es ergibt sich:
\(g:\vec{x}=\vec{s}+t\cdot\vec{r}\)
07) Lage von Geraden zueinander
Um den Schnittpunkt zweier Geraden feststellen zu können, werden beide Geraden gleichgesetzt.
Hierbei ergibt sich ein Gleichungssystem mit zwei Variablen. Die berechneten Variablen können dann in die jeweilige Gerade eingesetzt werden und es ergibt sich der Schnittpunkt.
Um die vier möglichen Fälle in 3D zu unterscheiden, ist dieses Vorgehen möglich:
- Die Geraden gleichsetzen
- Bei einer Lösung schneiden sich die Geraden.
- Bei unendlich viele Lösungen sind die Geraden identisch.
- Bei keiner Lösung sind sie parallel oder windschief. Um diese beiden Möglichkeiten noch zu unterscheiden, ist zu untersuchen, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind.
- Wenn sie linear abhängig sind, sind die Geraden parallel.
- Sonst sind sie windschief.
08) Ebenen
Ebenen können in 3D durch einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren dargestellt werden.
Der Stützvektor muss vom Ursprung auf einen beliebigen Punkt der Ebene zeigen.
Die Richtungsvektoren zeigen entlang der Ebene. Sie müssen in unterschiedliche Richtungen zeigen, also linear unabhängig sein.
Es ergibt sich:
\(e:\vec{x}=\vec{s}+t\cdot\vec{r_1}+u\cdot\vec{r_2}\)
09) Geraden und Ebenen
Um den Schnittpunkt von einer Geraden mit einer Ebene festzustellen, können beide gleichgesetzt werden.
Hierbei ergeben sich die drei Variablen für den Schnittpunkt.
Diese können dann in die Gerade- oder Ebenengleichung eingesetzt werden und es ergibt sich der Schnittpunkt.
Eine Ebene und eine Gerade können in 3D verschieden Lagebeziehungen haben:
- Sie können sich in einem Punkt schneiden.
- Die Gerade kann parallel zur Ebene sein und sich damit nicht schneiden.
- Die Gerade kann in der Ebene liegen.
Um die drei möglichen Fälle zu unterscheiden, ist dieses Vorgehen möglich:
Die Ebene wird mit der Geraden gleichgesetzt:
- Bei genau einer Lösung schneiden sich Ebene und Gerade.
- Bei einer unabhängigen Variablen liegt die Gerade in der Eben.
- Bei keiner Lösung ist die Gerade parallel zur Ebene.
10) Lage von Ebenen zueinander
Zwei Ebenen können in 3D verschieden Lagebeziehungen haben:
- Sie können sich entlang einer Geraden schneiden.
- Sie können parallel zueinander sein und sich damit nicht schneiden.
- Sie können identisch sein.
Um die drei möglichen Fälle zu unterscheiden, ist dieses Vorgehen möglich:
Die beiden Ebenen werden gleichgesetzt:
- Bei genau einer unabhängigen Variablen schneiden sich die Ebene entlang einer Gerade.
- Bei zwei unabhängigen Variablen sind die Ebenen identisch.
- Bei keiner Lösung sind die Ebenen parallel zur Ebene.