Mathe Klasse-9: 1) Quadratische-Funktionen

Kursthemen

• 

  Allgemeines

  • Bitte melde dich an um die Übungen bearbeiten zu können: anmelden.
• 

  01) Die Scheitelpunktform

  • Hier geht es um die Verschiebung von Normalparabeln in x- und y- Richtung.

    In der Form:

    \(f(x)=(x-x_s)^2+y_s\)

    ist \((x_s|y_s)\) der Scheitelpunkt.
    

    Wichtig ist hierbei, das Minus in der Klammer. Es wird häufig vergessen und führt so zu Fehlern.
    

  • 1a) Scheitelpunktform - Verschiebung in y-Richtung - Funktion angeben Test
  • 1b) Scheitelpunktform - Verschiebung in x-Richtung - Funktion angeben Test
  • 1c) Scheitelpunktform - Verschiebung in x- und y-Richtung - Funktion angeben I Test
  • 1d) Scheitelpunktform - Verschiebung in x- und y-Richtung - Funktion angeben II Test
  • 1e) Scheitelpunktform - Verschiebung in x- und y-Richtung - Funktion zuordnen I Test
  • 1f) Scheitelpunktform - Verschiebung in x- und y-Richtung - Funktion zuordnen II Test
  • 1g) Scheitelpunktform - Verschiebung in x- und y-Richtung - Funktion zeichnen I Test
  • 1h) Scheitelpunktform - Verschiebung in x- und y-Richtung - Funktion zeichnen II Test
• 

  2) Wiederholung binomische Formeln

  • Die binomischen Formeln lauten:
    

    \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

    \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
    

    \((a-b)(a+b)=a^2+ b^2\)
    

  • 2a) Herleitung 1. binomische Formel Test
  • 2b) erste binomische Formel: ausmultiplizieren Test
  • 2c) erste binomische Formel: ausklammern Test
  • 2d) zweite binomische Formel: ausmultiplizieren Test
  • 2e) zweite binomische Formel: ausklammern Test
  • 2f) dritte binomische Formel: ausmultiplizieren Test
  • 2g) dritte binomische Formel: ausklammern Test
  • 2h) binomische Formel Test
  • 2i) binomische Formeln mit Summand I Test
  • 2j) binomische Formeln mit Summand II Test
• 

  3) Allgemeine Form

  • Neben der Scheitelpunktform ist eine übliche Darstellung die allgemeine Form.

    Sie sieht im Allgemeinen so aus: \(f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c\)

    Wir werden hier a=1 setzen, sodass wir \(f(x)=x^2+b\cdot x+c\) erhalten.

    Eine Quadratische Funktion kann in beiden Formen dargestellt werden.

    \(f(x)=x^2+b\cdot x+c=(x-x_s)^2+y_s\)

  • Um von der Scheitelpunktform in die allgemeine Form zu kommen, muss die Klammer ausmultipliziert werden.

    Hierbei hilft die erste oder zweite Binomische Formel:
    

    \(f(x)=(x-x_s)^2+y_s=x^2-2\cdot x\cdot x_s+x_s^2+y_s\)

    Beispiel:
    

    \(f(x)=(x-3)^2+2=x^2-2\cdot x\cdot 3+3^2+2=x^2-6x+11\)

  • 3a) ausmultipizieren I Test
  • 3b) ausmultipizieren II Test
• 

  4) Quadratische Ergänzung

  • Um aus der Scheitelpunktform in die allgemeine Form zu kommen, muss die Klammer ausmultipliziert werden.

    Um von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform zu kommen ist die Umformung komplizierter. Der Term muss so vorbereitet werden, dass ein Teil von ihm die Struktur der rechten Seite der binomischen Formel hat:

    \(x^2+bx+c=x^2+2\cdot \frac{1}{2} b\cdot x+(\frac{1}{2}b)^2-(\frac{1}{2}b)^2+c=(x-\frac{1}{2}b)^2-(\frac{1}{2}b)^2+c\)

    Beispiel:
    

    \(x^2+2x+1=x^2+2\cdot 1\cdot x+(\frac{1}{2}\cdot 2)^2-(\frac{1}{2}\cdot 2)^2+1=(x-1)^2-(1)^2+1=(x-1)^2\)
    

  • 4a) quadratische Ergänzung Hinleitungteil 1 Test
  • 4b) quadratische Ergänzung Hinleitungteil 2 Test
  • 4c) quadratische Ergänzung Hinleitungteil 3 Test
  • 4d) quadratische Ergänzung Hinleitungteil 4 Test
  • 4e) quadratische Ergänzung Hinleitungteil 5 Test
  • 4f) quadratische Ergänzung Hinleitungteil 6 Test
  • 4g) quadratische Ergänzung I Test
  • 4g) quadratische Ergänzung II Test
• 

  5) Stauchung und Streckung

  • Wir fügen nun einen Vorfaktor a hinzu.
    

    Der Vorfaktor a verändert die Form der Parabel.

    \(f(x)=a\cdot x^2\)

    Man sagt für |a|<1 die Parabel wird gestaucht und für |a|>1 die Parabel wird gestreckt.

    Die Worte "gestaucht" und "gestreckt" beziehen sich hierbei auf die y-Richtung.
    

  • 5a) Stauchung und Streckung zuordnen Test
  • 5b) Stauchung und Streckung zuordnen II Test
  • 5c) Verschobene, gestauchte oder gestreckte Parabeln zeichnen I Test
  • 5d) Verschobene, gestauchte oder gestreckte Parabeln zeichnen II Test
• 

  06) Nullstellen

  • 6a) Nullstellen ablesen Test
  • Nullstellen geben an, wo die Funktion die x-Achse schneidet. Hier ist also y=0.

    Daher muss, um sie zu finden, die Funktion gleich null gesetzte werden.

    \(f(x)=0=a\cdot x^2+b\cdot x+c\)

    Wenn \(a\neq 1\) ist, muss mit a dividiert werden und wir erhält:

    \(0= x^2+\frac{b}{a}\cdot x+\frac{c}{a}\)

    Häufig wird auch geschrieben:

    \(0= x^2+p\cdot x+q\)

    demnach gilt: \(p=\frac{a}{c}\) und \(q=\frac{b}{c}\)

    Die Nullstellen ergeben sich dann aus der pq-Gleichung:

    \(x_0=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\)

    Es kann keine, eine oder zwei Nullstellen geben. Wenn es keine Nullstellen gibt, ist die Gleichung nicht lösbar.

  • 6b) Vorbereitung pq-Formel 1 (Normalform finden) Test
  • 6c) Vorbereitung pq-Formel 2 (p und q ablesen) Test
  • Beispiel: Bestimme die Nullstellen der Funktion f(x)=-3x²+6x+9

    0=-3x²+6x+9 | :(-3)

    0= x²-2x-3 | :(-3)

    p=-2 und q=-3

    \(x_0=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}=-\frac{-2}{2}\pm \sqrt{(\frac{-2}{2})^2--3}=1\pm\sqrt{-1+3}\)

    \(x_{01}=1-\sqrt{2}\) und \(x_{02}=1+\sqrt{2}\)

  • 6e) pq-Forme nutzen I Test
  • 6f) pq-Forme nutzen II Test
  • 6g) pq-Formel - Anzahl der Nullstellen Test
• 

  7) Variablen in verschiedenen Darstellungsformen

  • 7a) Variablen in a*(x-b)^2+c Test
  • Zu sehen ist die Parabel \(f(x)=a\cdot (x-b)^2+c\).
    Du kannst sie über die Schieberegler anpassen.

  • Zu sehen ist die Parabel \(f(x)=a\cdot (x-b)\cdot(x-c)\).
    Du kannst sie über die Schieberegler anpassen.

  • Zu sehen ist die Parabel \(f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x + c)\).
    Du kannst sie über die Schieberegler anpassen.

• 

  9) Vokabeln

  • Vokabeln zur Parabel
    Scheitelpunkt	höchster bzw. niedrigster Punkt einer Parabel
    Nullstelle	Schnittpunkt zwischen Funktion und x-Achse
    y-Achsenabschnitt	Schnittpunkt zwischen Funktion und y-Achse
    Stauchung und Streckung	Durch den Vorfaktor von x² ausgelöste Veränderung der Form der Parabel

    
    

    Spezielle Formen der Gleichung
    Scheitelpunktform	\(f(x)=(x-x_s)^2+y_s\) ist \((x_s|y_s)\) der Scheitelpunkt
    allgemeine Form	\(f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c\)
    Normalform	\(f(x)=x^2+b\cdot x+c\) da x² keinen Vorfaktor hat, handelt es sich um eine Normalparabel
    Nullstellenform	\(f(x)=a\cdot (x-x_{01})(x-x_{02})\) hierbei sind \(x_{01}\) und \(x_{01}\) die Nullstellen

    
    
    

  • 9a) Vokabeln Test