Hier geht es um die Verschiebung von Normalparabeln in x- und y- Richtung.
In der Form:
\(f(x)=(x-x_s)^2+y_s\)
ist \((x_s|y_s)\) der Scheitelpunkt.
Wichtig ist hierbei, das Minus in der Klammer. Es wird häufig vergessen und führt so zu Fehlern.
Die binomischen Formeln lauten:
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
\((a-b)(a+b)=a^2+ b^2\)
Neben der Scheitelpunktform ist eine übliche Darstellung die allgemeine Form.
Sie sieht im Allgemeinen so aus: \(f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c\)
Wir werden hier a=1 setzen, sodass wir \(f(x)=x^2+b\cdot x+c\) erhalten.
Eine Quadratische Funktion kann in beiden Formen dargestellt werden.
\(f(x)=x^2+b\cdot x+c=(x-x_s)^2+y_s\)
Um von der Scheitelpunktform in die allgemeine Form zu kommen, muss die Klammer ausmultipliziert werden.
Hierbei hilft die erste oder zweite Binomische Formel:
\(f(x)=(x-x_s)^2+y_s=x^2-2\cdot x\cdot x_s+x_s^2+y_s\)
Beispiel:
\(f(x)=(x-3)^2+2=x^2-2\cdot x\cdot 3+3^2+2=x^2-6x+11\)
Um aus der Scheitelpunktform in die allgemeine Form zu kommen, muss die Klammer ausmultipliziert werden.
Um von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform zu kommen ist die Umformung komplizierter. Der Term muss so vorbereitet werden, dass ein Teil von ihm die Struktur der rechten Seite der binomischen Formel hat:
\(x^2+bx+c=x^2+2\cdot \frac{1}{2} b\cdot x+(\frac{1}{2}b)^2-(\frac{1}{2}b)^2+c=(x-\frac{1}{2}b)^2-(\frac{1}{2}b)^2+c\)
Beispiel:
\(x^2+2x+1=x^2+2\cdot 1\cdot x+(\frac{1}{2}\cdot 2)^2-(\frac{1}{2}\cdot 2)^2+1=(x-1)^2-(1)^2+1=(x-1)^2\)
Wir fügen nun einen Vorfaktor a hinzu.
Der Vorfaktor a verändert die Form der Parabel.
\(f(x)=a\cdot x^2\)
Man sagt für |a|<1 die Parabel wird gestaucht und für |a|>1 die Parabel wird gestreckt.
Die Worte "gestaucht" und "gestreckt" beziehen sich hierbei auf die y-Richtung.
Nullstellen geben an wo die Funktion die x-Achse schneidet. Hier ist also y=0.
\(0= x^2+\frac{b}{a}\cdot x+\frac{c}{a}\)
Häufig wird auch geschrieben:
\(0= x^2+p\cdot x+q\)
demnach gilt: \(p=\frac{a}{c}\) und \(q=\frac{b}{c}\)
Die Nullstellen ergeben sich dann aus der pq-Gleichung:
\(x_0=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\)
Beispiel: Bestimme die Nullstellen der Funktion f(x)=-3x²+6x+9
0=-3x²+6x+9 | :(-3)
0= x²-2x-3 | :(-3)
p=-2 und q=-3
\(x_0=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}=-\frac{-2}{2}\pm \sqrt{(\frac{-2}{2})^2--3}=1\pm\sqrt{(-1+3}\)
\(x_{01}=1-\sqrt{2}\) und \(x_{02}=1+\sqrt{2}\)
Den Schnittpunkt von Geraden und Parabeln kann man z.B. durch das Gleichsetzungsverfahren bestimmen.
Beispiel:
Parabel: \(f(x)=3x^2\)
Gerade: \(g(x)=-\frac{1}{2}x+4\)
Annahme Gleichsetzungsverfahren: \(f(x)=g(x)\)
\(\Leftrightarrow3x^2=-\frac{1}{2}x+4\ |-3x^2\)
\(\Leftrightarrow0=-3x^2-\frac{1}{2}x+4\ |:(-3)\)
\(\Leftrightarrow0=x^2+\frac{1}{6}x-\frac{4}{3}\)
Funktionen können unterschiedlich dargestellt werden,
häufige Formen sind Gleichung, Tabelle und Zeichnung.
Um eine Tabelle zu erhalten, werden verschiedene x-Werte in die Gleichung eingesetzt und die y-Werte bestimmt. Aus einer Zeichnung können verschiedene Punkte abgelesen werden.
Um eine Zeichnung aus einer Tabelle zu erhalten, können die Werte aus der Tabelle eingezeichnet werden. Aus einer Gleichung können spezielle Eigenschaften, wie der Scheitelpunkt entnommen und gezeichnet werden. Alternativ muss erster eine Tabelle Angelegt werden.
Um die Gleichung aus einer Tabelle oder Zeichnung zu erhalten, können spezifische Eigenschaften abgelesen werden und hiermit eine Gleichung erstellt werden. Alternativ kann man eine geeignete Gleichung annehmen, hier Punkte einsetzen und das Gleichungssystem lösen.
| Vokabeln zur Parabel |
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|---|---|
| Scheitelpunkt | höchster bzw. niedrigster Punkt einer Parabel |
| Nullstelle | Schnittpunkt zwischen Funktion und x-Achse |
| y-Achsenabschnitt |
Schnittpunkt zwischen Funktion und y-Achse |
| Stauchung und Streckung |
Durch den Vorfaktor von x² ausgelöste Veränderung der Form der Parabel |
| Spezielle Formen der Gleichung |
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|---|---|
| Scheitelpunktform |
\(f(x)=(x-x_s)^2+y_s\) ist \((x_s|y_s)\) der Scheitelpunkt |
| allgemeine Form |
\(f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c\) |
| Normalform |
\(f(x)=x^2+b\cdot x+c\) da x² keinen Vorfaktor hat handelt es sich um eine Normalparabel |
| Nullstellenform |
\(f(x)=a\cdot (x-x_{01})(x-x_{02}\) \(x_{01}\) und \(x_{01}\) sind die Nullstellen |