Mathe Klasse-9: 1) Quadratische-Funktionen

Kursthemen

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  Allgemeines

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  01) Die Scheitelpunktform

  • Hier geht es um die Verschiebung von Normalparabeln in x- und y- Richtung.

    In der Form:

    $f(x)=(x-x_s)^2+y_s$

    ist $(x_s|y_s)$ der Scheitelpunkt.
    

    Wichtig ist hierbei, das Minus in der Klammer. Es wird häufig vergessen und führt so zu Fehlern.
    

  • Video Scheitelpunkt Datei
  • 01a) Scheitelpunktform Test
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  02) Wiederholung binomische Formeln

  • Die binomischen Formeln lauten:
    

    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

    $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
    

    $(a-b)(a+b)=a^2+ b^2$
    

  • Binomische Formeln Datei
  • 02a) binomische Formeln Test
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  03) Allgemeine Form

  • Neben der Scheitelpunktform ist eine übliche Darstellung die allgemeine Form.

    Sie sieht im Allgemeinen so aus: $f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$

    Wir werden hier a=1 setzen, sodass wir $f(x)=x^2+b\cdot x+c$ erhalten.

    Eine Quadratische Funktion kann in beiden Formen dargestellt werden.

    $f(x)=x^2+b\cdot x+c=(x-x_s)^2+y_s$

  • Um von der Scheitelpunktform in die allgemeine Form zu kommen, muss die Klammer ausmultipliziert werden.

    Hierbei hilft die erste oder zweite Binomische Formel:
    

    $f(x)=(x-x_s)^2+y_s=x^2-2\cdot x\cdot x_s+x_s^2+y_s$

    Beispiel:
    

    $f(x)=(x-3)^2+2=x^2-2\cdot x\cdot 3+3^2+2=x^2-6x+11$

  • 03a) ausmultipizieren Test

    
    
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  04) Quadratische Ergänzung

  • Um aus der Scheitelpunktform in die allgemeine Form zu kommen, muss die Klammer ausmultipliziert werden.

    Um von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform zu kommen ist die Umformung komplizierter. Der Term muss so vorbereitet werden, dass ein Teil von ihm die Struktur der rechten Seite der binomischen Formel hat:

    $x^2+bx+c=x^2+2\cdot \frac{1}{2} b\cdot x+(\frac{1}{2}b)^2-(\frac{1}{2}b)^2+c=(x-\frac{1}{2}b)^2-(\frac{1}{2}b)^2+c$

    Beispiel:
    

    $x^2+2x+1=x^2+2\cdot 1\cdot x+(\frac{1}{2}\cdot 2)^2-(\frac{1}{2}\cdot 2)^2+1=(x-1)^2-(1)^2+1=(x-1)^2$
    

  • 04a) quadratische Ergänzung Teil 1 Test
  • 04b) quadratische Ergänzung Teil 2 Test
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  05) Stauchung und Streckung

  • Wir fügen nun einen Vorfaktor a hinzu.
    

    Der Vorfaktor a verändert die Form der Parabel.

    $f(x)=a\cdot x^2$

    Man sagt für |a|<1 die Parabel wird gestaucht und für |a|>1 die Parabel wird gestreckt.

    Die Worte "gestaucht" und "gestreckt" beziehen sich hierbei auf die y-Richtung.
    

  • 05a) Stauchung und Streckung Teil 1 Test
  • 05b) Stauchung und Streckung Teil 2 Test
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  06) Nullstellen

  • Nullstellen geben an wo die Funktion die x-Achse schneidet. Hier ist also y=0.
    

    Daher muss, um sie zu finden, die Funktion gleich null gesetzte werden.

    $f(x)=0=a\cdot x^2+b\cdot x+c$

    
    

    Wenn $a\neq 1$ ist muss mit a dividiert werden und wir erhält:

    $0= x^2+\frac{b}{a}\cdot x+\frac{c}{a}$

    Häufig wird auch geschrieben:

    $0= x^2+p\cdot x+q$

    demnach gilt: $p=\frac{a}{c}$ und $q=\frac{b}{c}$

    Die Nullstellen ergeben sich dann aus der pq-Gleichung:

    $x_0=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$
    

    Es kann keine, eine oder zwei Nullstellen geben. Wenn es keine Nullstellen gibt ist die Gleichung nicht lösbar.
    

  • 06a) Vorfaktor von x^2 entfernen Test
  • Beispiel: Bestimme die Nullstellen der Funktion f(x)=-3x²+6x+9

    0=-3x²+6x+9 | :(-3)

    0= x²-2x-3 | :(-3)

    p=-2 und q=-3

    $x_0=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}=-\frac{-2}{2}\pm \sqrt{(\frac{-2}{2})^2--3}=1\pm\sqrt{(-1+3}$

    $x_{01}=1-\sqrt{2}$ und $x_{02}=1+\sqrt{2}$
    

  • 06b) Gleichung Lösen mit der PQ-Formel Test
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  07) Schnittpunkte von Gerade und Parabel

  • Den Schnittpunkt von Geraden und Parabeln kann man z.B. durch das Gleichsetzungsverfahren bestimmen.

    Beispiel:
    

    Parabel: $f(x)=3x^2$

    Gerade: $g(x)=-\frac{1}{2}x+4$

    Annahme Gleichsetzungsverfahren: $f(x)=g(x)$

    $\Leftrightarrow3x^2=-\frac{1}{2}x+4\ |-3x^2$

    $\Leftrightarrow0=-3x^2-\frac{1}{2}x+4\ |:(-3)$

    $\Leftrightarrow0=x^2+\frac{1}{6}x-\frac{4}{3}$

    Aus dieser Form kann x mit der pq-Formel bestimmt werden.

    Um den Punkt in der Form (x|y) angeben zu können, wird y durch Einsetzen in die Funktionsgleichung bestimmt.
    

  • 07a) Schnittpunke Gerade/Parabel Test
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  08) Wechsel zwischen Tabelle, Gleichung und Zeichnung

  • Funktionen können unterschiedlich dargestellt werden,

    häufige Formen sind Gleichung, Tabelle und Zeichnung.

    Um eine Tabelle zu erhalten, werden verschiedene x-Werte in die Gleichung eingesetzt und die y-Werte bestimmt. Aus einer Zeichnung können verschiedene Punkte abgelesen werden.
    

    Um eine Zeichnung aus einer Tabelle zu erhalten, können die Werte aus der Tabelle eingezeichnet werden. Aus einer Gleichung können spezielle Eigenschaften, wie der Scheitelpunkt entnommen und gezeichnet werden. Alternativ muss erster eine Tabelle Angelegt werden.

    Um die Gleichung aus einer Tabelle oder Zeichnung zu erhalten, können spezifische Eigenschaften abgelesen werden und hiermit eine Gleichung erstellt werden. Alternativ kann man eine geeignete Gleichung annehmen, hier Punkte einsetzen und das Gleichungssystem lösen.
    

  • 08a) Wechsel zwischen Tabelle, Gleichung und Zeichnung Test
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  09) Vokabeln

  • Vokabeln zur Parabel
    Scheitelpunkt	höchster bzw. niedrigster Punkt einer Parabel
    Nullstelle	Schnittpunkt zwischen Funktion und x-Achse
    y-Achsenabschnitt	Schnittpunkt zwischen Funktion und y-Achse
    Stauchung und Streckung	Durch den Vorfaktor von x² ausgelöste Veränderung der Form der Parabel

    
    

    Spezielle Formen der Gleichung
    Scheitelpunktform	$f(x)=(x-x_s)^2+y_s$ ist $(x_s|y_s)$ der Scheitelpunkt
    allgemeine Form	$f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$
    Normalform	$f(x)=x^2+b\cdot x+c$ da x² keinen Vorfaktor hat handelt es sich um eine Normalparabel
    Nullstellenform	$f(x)=a\cdot (x-x_{01})(x-x_{02})$ Hierbei sind $x_{01}$ und $x_{01}$ die Nullstellen

    
    
    

  • 09a) Vokabeln Test
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  10) Abschlusstest

  • 10a) Abschlusstest