Allgemeines
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Kursthemen
00-Wiederholung-Funktionen und Ableitung
Die erste Ableitung einer Funktion gibt ihre Steigung an.
Die zweite ihre Krümmung, also ob die Kurve rechts- oder linksrum geht und wie eng sie ist.
Typische Regeln die zur Ableitung gebraucht werden:
Ableitungen sind additiv, wenn f(x)=g(x)+h(x) ist, dann ist f'(x)=g'(x)+h'(x).
Ableitung sind multiplikativ in Bezug auf Konstanten, wenn f(x)=a·h(x) ist, dann ist f'(x)=a·h'(x).
typische Ableitungen f(x) f'(x) \(x^n\) \(n\cdot x^{n-1}\) sin(x) cos(x) cos(x) -sin(x)
01-Bestand und Änderung
- f(x) sei der Durchfluss durch einen Wasserhahn. Das Wasser fließt in ein Becken.Dann kann eine Funktion gefunden werden, die die Menge des Wassers im Becken angibt.Wenn durch den Hahn z.B. f(x)=5l/s fließen, dann sind im Becken nach 10s 5l/s·10s= 50l.Natürlich kann die Funktion auch komplizierter sein.Die Menge im Becken lässt sich hierbei durch die Fläche unter der Funktion f(x) bestimmen.Wichtig ist, dass f(x) nichts dazu sagt, wie viel Wasser am Anfang im Becken ist.Daher kann immer noch ein konstanter Betrag dazukommen.
02-Stammfunktion
Zu vielen Funktionen f(x) kann eine Funktion F(x) gefunden werden, die f(x) als Ableitung hat.
F(x) heißt Stammfunktion von f(x).
F(x) gibt dabei den orientierten Flächeninhalt zwischen der Funktion f(x) und der x-Achse an.
Hierbei werden Flächen unterhalb der x-Achse negativ gewertet.
Die Funktion F(x) ist nicht eindeutig. Sie kann immer um eine addierte Konstante verändert werden, da addierte Konstanten in der Ableitung wegfallen.
03-Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
- Um die orientierte Fläche unter eine Funktion von a bis b zu berechnen brauche ich das Integral:\(\int_{a}^{b} f(x) \,dx=[F(x)]^b_a=F(b)-F(a)\)Beispiel:\(\int_{1}^{3} \frac{1}{3}x^2 \,dx=[x^3]^3_1=3^3-1^3=9-1=8\)
05-Flächen
Um den Flächeninhalt zwischen Funktion und x-Achse zu bestimmen ist ein spezielles Vorgehen notwendig.
Das Integral bestimmt die orientierten Flächeninhalte. Flächen unter der x-Achse werden dabei negativ gewertet.
Ist dies nicht gewünscht muss das Integral an jeder Nullstelle aufgeteilt werden. Anschließend sind die Beträge zu addieren.
Es muss:
1) Die Nullstellen durch lösen der Gleichung f(x)=0 gefunden werden.
2) Die Integrale jeweils benachbarter Nullstellen berechnet werden.
3) Die Beträge (positiven Werte) der Integrale addiert werden.
Um die Fläche zwischen zwei Funktionen festzustellen muss ähnlich zur Fläche zwischen Funktion und x-Achse vorgegangen werden.
1) Die Schnittpunkte der Funktionen müssen bestimmt werden. Hierzu muss die Gleichung f(x)=g(x) gelöst werden.
2) Die Integrale der Funktion f(x)-g(x) sind jeweils zwischen zwei Schnittpunkten zu lösen.
3) Die Beträge der Integrale sind zu addieren.