Allgemeines
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Die erste Ableitung einer Funktion gibt ihre Steigung an.
Die zweite ihre Krümmung, also ob die Kurve rechts- oder linksrum geht und wie eng sie ist.
Typische Regeln die zur Ableitung gebraucht werden:
Ableitungen sind additiv, wenn f(x)=g(x)+h(x) ist, dann ist f'(x)=g'(x)+h'(x).
Ableitung sind multiplikativ in Bezug auf Konstanten, wenn f(x)=a·h(x) ist, dann ist f'(x)=a·h'(x).
f(x) | f'(x) |
---|---|
\(x^n\) | \(n\cdot x^{n-1}\) |
sin(x) |
cos(x) |
cos(x) | -sin(x) |
Zu vielen Funktionen f(x) kann eine Funktion F(x) gefunden werden, die f(x) als Ableitung hat.
F(x) heißt Stammfunktion von f(x).
F(x) gibt dabei den orientierten Flächeninhalt zwischen der Funktion f(x) und der x-Achse an.
Hierbei werden Flächen unterhalb der x-Achse negativ gewertet.
Die Funktion F(x) ist nicht eindeutig. Sie kann immer um eine addierte Konstante verändert werden, da addierte Konstanten in der Ableitung wegfallen.
Um den Flächeninhalt zwischen Funktion und x-Achse zu bestimmen ist ein spezielles Vorgehen notwendig.
Das Integral bestimmt die orientierten Flächeninhalte. Flächen unter der x-Achse werden dabei negativ gewertet.
Ist dies nicht gewünscht muss das Integral an jeder Nullstelle aufgeteilt werden. Anschließend sind die Beträge zu addieren.
Es muss:
1) Die Nullstellen durch lösen der Gleichung f(x)=0 gefunden werden.
2) Die Integrale jeweils benachbarter Nullstellen berechnet werden.
3) Die Beträge (positiven Werte) der Integrale addiert werden.
Um die Fläche zwischen zwei Funktionen festzustellen muss ähnlich zur Fläche zwischen Funktion und x-Achse vorgegangen werden.
1) Die Schnittpunkte der Funktionen müssen bestimmt werden. Hierzu muss die Gleichung f(x)=g(x) gelöst werden.
2) Die Integrale der Funktion f(x)-g(x) sind jeweils zwischen zwei Schnittpunkten zu lösen.
3) Die Beträge der Integrale sind zu addieren.