Mathe Klasse-10: 1) Potenzen

Kursthemen

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  Allgemeines

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  01) ganzzahlige Potenzen

  • Eine Potenz bedeutet mehrere Multiplikationen zusammen zufassen:
    \(b\cdot b\cdot b=b^3\)
    
  • 01a) ganzzahlige Potenzen I Test
  • 01b) ganzzahlige Potenzen II Test
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  02) Wurzeln und Potenzen

  • Wurzeln können als Potenzen dargestellt werden:
    Beispiel:\(\sqrt2=2^\frac{1}{2}\)
    Allgemein gilt: \(\sqrt[n]{x}=x^\frac{1}{n}\)
    
  • 02a) Wurzeln und Potenzen I Test
  • 02b) Wurzeln und Potenzen II Test
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  03) Zahlen mit 10-Potenzen darstellen

  • Häufig ist es praktisch sehr große oder sehr kleine Zahlen durch 10-Potenzen darzustellen.
    \(39480000=3,948\cdot10^7=39,48\cdot10^6=39,48M\)
    
    Hierbei gibt es drei gebräuchliche Wege:
    
    Im ersten Fall verschiebt man das Komma, sodass nur eine Ziffer, die nicht null ist, vorm Komm steht:
    \(39480000=3,948\cdot10^7\)
    
    Im zweiten Fall verschiebt man das Komma, sodass nur eine, zwei oder drei Ziffern, die nicht null sind, vorm Komm steht und der Exponent von 10 durch 3 teilbar ist:
    \(39480000=39,48\cdot10^6\)
    
    Im dritten Fall verschiebt man das Komma genauso wie im zweiten und ersetzt die Zehnerpotenz durch ein SI-Vorzeichen. Dies ist vor allem in der Physik üblich:
    \(39480000=39,48\cdot10^6\)=39,48M
    Typische Vorzeichen sind:
    

    n	nano	\(10^{-9}\)
    \(\mu\)	micro	\(10^{-6}\)
    m	milli	\(10^{-3}\)
    /	/	\(10^0\)
    k	kilo	\(10^{3}\)
    M	Mega	\(10^{6}\)
    G	Giga	\(10^{6}\)
    T	Tera	\(10^{9}\)

  • 03a)10-Potenzen I Test
  • 03b)10-Potenzen II Test
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  04) Potenzgesetze

  • Potenzen können mit den sogenannten Potenzgesetzen zusammengefasst werden.

    Für die Multiplikation gilt \(b^3\cdot b^2=b\cdot b\cdot b\cdot b\cdot b=b^5\).
    Allgemein P1: \(b^n\cdot b^m=b^{n+m}\)

    \(b^3\cdot a^3=b\cdot b\cdot b\cdot a\cdot a \cdot a =a\cdot b \cdot a\cdot b \cdot a\cdot b =(a\cdot b)^3\)
    und allgemein P2: \(a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^{n}\)
    
    
    Für die Division gilt:
    \(\frac{b^5}{b^2}=\frac{b\cdot b\cdot b\cdot b\cdot b}{b\cdot b}=b\cdot b=b^2\).
    Allgemein P1*: \(\frac{b^n}{b^m}=b^{n-m}\)

    \(\frac{b^3}{a^3}=\frac{b\cdot b\cdot b}{a\cdot a \cdot a}=\frac{b}{a}\cdot \frac{b}{a}\cdot \frac{b}{a}=(\frac{b}{a})^3\)
    und allgemein P2*: \(\frac{a^n}{b^n}=(\frac{a}{b})^n\)
    
    Für Potenzen von Potenzen gilt:
    \((b^3)^2=(b\cdot b\cdot b)^2=b\cdot b\cdot b\cdot b\cdot b\cdot b=b^6\)
    Allgemein P3: \((b^n)^m=b^{n\cdot m}\)
    
    Achtung: Es gibt kein Potenzgesetz für Addition
    \({b^3}+{b^3}=2\cdot{b^3}\)
    

  • 04a) P1 (gleiche Basis) I Test
  • 04b) P1 (gleiche Basis) I Test
  • 04c) P2 (gleicher Exponent) I Test
  • 04d) P2 (gleicher Exponent) II Test
  • 04e) Potenzen von Potenzen I Test
  • 04f) Potenzen von Potenzen II Test
  • 04g) Potenzgesetze gemischt I Test
  • 04h) Potenzgesetze gemischt II Test
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  05) Wurzelgesetze

  • Da Wurzeln mathematisch auch Potenzen sind, gelten auch für sie die Potenzgesetze:
    Für die Multiplikation gilt: \(\sqrt[n]a\cdot \sqrt[n]b=\sqrt[n]{a\cdot b}\)
    
    Für die Division gilt: \(\frac{\sqrt[n]a}{\sqrt[n]b}=\sqrt[n]\frac{a}{b}\)
    
    

    Für Wurzeln von Wurzeln gilt: \(\sqrt[n]{\sqrt[m]b}=\sqrt[n\cdot m]b\)
    

    
    

    Achtung, es gibt auch keine Gesetz zur Addition: \({\sqrt[n]b}+{\sqrt[n]b}=2\cdot{\sqrt[n]b}\)

    
    
  • 05a) Wurzelgesetze I Test
  • 05b) Wurzelgesetze II Test
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  06) Gemischt

  • 06a) Gemischt Test
  • 06b) Abschlussstest